Základní algebraické metody

Podalgebry

Homomorfismy

Zobrazení třeba z (ℂ, +) → (ℝ, ⊕).

f(a + b) = f(a) ⊕ f(b)
a, b ∈ ℂ

Když má ta struktura víc operací, musí se dokazovat pro všechny!

Jádro jsou ty prvky, které se zobrazí na neutrální prvek. Pokud má jádro právě jeden prvek, je homomorfizmus injektivní.

Přímé součiny

Kongruence a faktorové algebry

g₁ ≡ g₂ ∧ h₁ ≡ h₂ ⇒ g₁ ★ h₁ ≡ g₂ ★ h₂

★ je libovolná operace ve struktuře

≡ znamená kongruence

Pravá kongruence: g₁ ≡ g₂ ⇒ g₁ ★ w ≡ g₂ ★ w

Aby to vůbec mohla být kongruence, musí platit relace ekvivalence!

Reflexivita: a ~ a

Symetrie: a ~ b ∧ b ~ a

Tranzitivita: a ~ b ∧ b ~ c ∧ c ~ a

Faktorové algebry

Normální podgrupy

Mějme grupu G = (M, ☆). Pokud vytvoříme novou strukturu P = (N, ☆), kde N ⊂ M a P je stále grupa, říkáme jí podgrupa.

Normální podgrupa je, když m ☆ n ☆ m⁻¹1) inverzní prvek ∈ P (m ∈ M, n ∈ N).

ideály okruhů

Mějme okruhy (R, ⊕, ⊗) a (I, ⊕, ⊗) kde I ⊂ R.

I je pak ideálem R, pokud platí:

(I, ⊕) je podgrupou (R, ⊕)

∀ x ∈ I, ∀ r ∈ R: x ⊗ r ∈ I (pravý ideál)

∀ x ∈ I, ∀ r ∈ R: r ⊗ x ∈ I (levý ideál)

Pokud platí jen jedna z posledních dvou podmínek, je to pravý (levý) ideál.