Fyzikální optika

Vlny

Příčné a podélné vlny

Mechanické vlny mohou existovat pouze v látkovém prostředí a jejich pohyb je určen Newtonovými zákony. V případě příčných (transverzálních) mechanických vln, jakými jsou například vlny na napnuté struně, kmitají částice prostředí kolmo ke směru postupu vlny. Při šíření podélných (longitudinálních) vln kmitají částice prostředí rovnoběžně se směrem postupu vlny.

Sinusové vlny (harmonické vlny)

Sinusová (harmonická) vlna, postupující ve směru osy x, je popsána vztahem

y(x, t) = ym sin(kx − ωt),

kde ym je amplituda, k je úhlový vlnočet, ω je úhlový kmitočet neboli úhlová frekvence a kx − ωt je fáze. Vlnová délka λ souvisí s k vztahem

k = 2π/λ.

Perioda T a frekvence f vlny jsou s úhlovou frekvencí ω vázány vztahy

ω/(2π) = f = 1/T.

Rychlost šíření vlny v je uvedenými parametry určena vztahem

v = ω/k = λ/T = λf

Rovnice obecné postupné vlny

Jakákoliv funkce tvaru

y(x, t) = h(x − vt)

popisuje vlnu postupující ve směru osy x stálou rychlostí v (pro v > 0). Její tvar je určen konkrétním tvarem funkce h. Vlna postupující proti směru osy x je popsána funkcí h(x + vt).

Rychlost vlny na napnuté struně

Rychlost vlny, která postupuje na napnuté struně, je určena napětím struny τ a délkovou hustotou struny μ. Platí

v = sqrt(τ/μ).

Výkon

Střední výkon vlny je střední rychlost změny energie v daném místě v důsledku jejího přenosu touto vlnou. V případě sinusové vlny v napnuté struně je střední výkon roven

P = (μvω²ym²)/2.

Skládání vln

Při současném šíření dvou nebo více vln v tomtéž prostředí je výchylka libovolné částice prostředí rovna součtu výchylek, které by této částici individuálně udělily jednotlivé vlny. Toto pravidlo se nazývá princip superpozice.

Fourierova řada

Libovolnou vlnu můžeme vyjádřit ve tvaru Fourierovy řady, tj. ve tvaru součtu vhodně zvolených sinusových vln.

Interference vln

Výchylky ve dvou vlnách postupujících na téže struně se sčítají nebo odčítají podle principu superpozice. Říkáme, že spolu interferují neboli že dochází k interferenci. Pokud se obě výchozí vlny shodují ve směru šíření, v amplitudě ym a ve frekvenci f (a tedy mají také stejnou vlnovou délku), avšak liší se fázovou konstantou φ, vzniká interferencí jediná vlna stejné frekvence:

y′(x, t) = 2ym cos(φ/2) sin(kx − ωt + φ/2).

Je-li φ = 0, vlny jsou ve fázi a jejich interference je (úplně) konstruktivní. Při φ = π rad jsou vlny v protifázi a jejich interference je (úplně) destruktivní.

Fázory

Formálně můžeme vlnu y(x, t) popsat fázorem. Je to vektor, jehož velikost je rovna amplitudě vlny ym a který se otáčí kolem počátku s úhlovou rychlostí rovnou úhlové frekvenci vlny ω. Projekcí rotujícího fázoru na svislou osu získáme výchylku y jednotlivých částic při šíření vlny.

Stojaté vlny

Interferencí dvou identických sinusových vln, postupujících v opačných směrech, vznikají stojaté vlny. V případě struny s upevněnými konci jsou stojaté vlny popsány vztahem

y′(x, t) = 2ym sin(kx) cos(ωt).

Stojaté vlny mají pevné polohy uzlů a kmiten. Uzel, resp. kmitna je poloha nulové, resp. maximální příčné výchylky struny.

Vlastní kmity

Stojaté vlnění můžeme na struně vytvořit odrazem postupných vln na koncích struny. Na upevněných koncích se vytvářejí uzly vlny. Toto pravidlo omezuje frekvence stojatých vln, které lze na dané struně vybudit. Každou takovou přípustnou frekvenci nazýváme vlastní neboli rezonanční frekvencí a odpovídající stojatou vlnu nazýváme vlastním neboli rezonančním kmitem struny. V případě struny délky L s oběma konci upevněnými jsou vlastní frekvence určeny vztahem

f = v/λ = (nv)/(2L) pro n = 1, 2, 3, ….

Kmit příslušný n = 1 nazýváme základním kmitem neboli prvním harmonickým kmitem (první harmonickou). Kmit odpovídající n = 2 je druhý harmonický kmit. Podobně pro vyšší hodnoty n.